「数列角形」数学黄金角(数学黄金角度)

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我们知道黄金数等于1.6180339887……，通常用Φ表示。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即１／Φ＝Φ－１，有时这个倒数也被称为黄金比，等于0.618……。

1.黄金比例和斐波那契数有着密不可分的关系

我们把斐波纳契数列中相邻的两个数相除，得到的结果都近似等于Φ，当取斐波纳契数列中数值越大，则它们的比值越接近Φ，当取值接近无穷大时，其比值就等于Φ。所以斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。

斐波那契数列可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明(见图1)。起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在其左边的那个正方形的边长也是1 。在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l等等的一系列正方形。这些数字的每一个均等于前面两个数之和，它们构成了斐波那契数列。相邻的两个斐波那契数的比值逐渐趋近于黄金数，例如21／13=1．615384。

这一事实可从生成斐波那契数的规则推导出来：对于较大的数，由此规则可得出方程 ＝1十1／ 。如果在每个正方形内画一段相当于圆周的l／4的弧，那么这些弧合起来就形成一条优美的螺旋线。这条螺旋线与自然界中经常发现的所谓对数螺线很相似(例如鹦鹉螺的壳就是对数螺线的形状)。它的各圈的长度以约等于黄金数的比率增加。

由通项公式，求相邻两项的商的极限，结果是黄金比，所以斐波那契数列又称为黄金比数列。斐波那契数列和黄金比还和一个有趣的数学概念——连分数有关：

植物生长与斐波那契数列、黄金数的关系如下：在长期的自然选择中，很多植物进化出完美的生长机制。叶片连线条数之所以是斐波那契数，是因为相邻两片叶片投影夹角为黄金角，而黄金角的作用是保证叶片受到最充分的光照，使光合作用效率最大化。

如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞片数，那么为什么斐波那契数列会如此的巧合？这也是植物在大自然长期适应和进化的结果。因为植物所显示的数学特征是植物生长在动态过程中必然会产生的结果，它受到数学规律的严格约束，换句话说，植物离不开斐波那契数列，就像盐的晶体必然具有立方体的形状一样。由于该数列中的数值越靠后越大，因此2个相邻的数字之商将越来越接近0.618034这个值。例如34、55=0.6182，已经与之接近，而这个比值的准确极限是“黄金数”。

当然，自然界中并不是所有的植物都符合斐波那契数列的特征，这就给我们提出了一个新的问题，造成这种状况的原因是什么呢？大自然真的是太奇妙了！

美国著名数学家、数学教育家乔治.波利亚（George Polya，1887-1985）曾提出这样一个饶有趣味的几何问题：如果将三角形的三个角与三条边称为三角形的六个基本元素，那么能否找到一对三角形，它们有五个基本元素对应相等，而这两个三角形不全等？

回答是肯定的.如△ABC和△A′B′C′，若三边分别为8,12,18和12,18,27，因为8/12=12/18=18/27，所以△ABC∽△A′B′C′，这两个三角形有三个角和两条边对应相等，而这两个三角形不全等.

如果把满足上述条件的两个三角形叫做奇异三角形，更一般地，有下面的结论：

2. Padovan数

我们从一幅类似的图着手，但它是由一些等边三角形构成的(见图2)。初始三角形用灰色表示。后面的三角形沿顺时针方向依次加上去。产生的螺旋线又差不多是对数的。为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起，头三个三角形的边长均为1。其后的两个三角形的边长为2，然后依次是3、4、5、7、9、12、16、2l等等。这个数列也有一条很简单的构成规则：每个数都是跳过其前面的那个数，并把再前面的两个数相加而得出的。我把这个数列称为Padovan数列，以纪念建筑师Richard Padovan，奇妙的是，Padova是Padua(帕多瓦)的意大利文形式，而斐波那契则来自比萨——距帕多瓦约100英里)。

用代数符号，可以把斐波那契数列F(n)和Padovan数列P(n)分别表示为：F(n十1)＝F(n)十F(n—1)，其中F(O)＝F(1)＝1，和P(n十1)＝P(n—1)十P(n—2)，其中P(0)＝P(1)＝P(2)＝1。这两个数列之间的相似性是非常明显的。塑料数——从现在起我将把这个数称为P，其近似值为1．324718——是相邻的两个Padovan数之比的极限，正如黄金数是相邻的两个斐波那契数之比的极限一样。由构成规则可得方程P＝l／P十l／P2，即P3—P—l＝0。数P是这个方程唯一的实数解。

由于P小于 ，因此Padovan数列的增长速度比斐波那契数列慢得多。Padovan数列存在许多有趣的规律。例如，由图1中可以看出2l＝16十5，因为在同一条边上的相邻三角形必须能拼合在一起。这样，可以得出推导Padovan数列更多项的另一条规则：P(n十1)＝P(n)十P(n一4)。

3. 斐波那契数与Padovan数之间联系

某些数既是斐波那契数，又是Padovan数，例如3，5和21。还有其他的例子吗？如果有的话，那么这种数有多少，而且是有限还是无限呢？某些Padovan数是完全平方数，如9，16和49等，还有其他Padovan数也属于这种情况吗？这三个数的平方根(即3，4和7)也是Padovan数。这是巧合呢还是一种普遍规律？这些问题以及其他许多问题都值得进一步研究。

使用递归关系{displaystyle P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}}可将巴都比数列推广到负数项。这样的定义跟将斐波那契数推广到反斐波那契数列相似。另一方面，反斐波那契数列取绝对值便和斐波那契数列相等，但反巴都比数列却不：

…… -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ……

生成Padovan数的另一种方法是模仿用正方形来生成斐波那契数的方法，但用长方体(即各面为矩形的盒子)来代替正方形。这样我们就得到由长方体形成的某种三维螺旋线(见图2)。开始时是一个棱长为1的立方体，在其旁边也放一个棱长为1的立方体，其结果就是一个1×1×2的长方体。在这个长方体的1×2的一面上，加上另一个1×1×2，得到一个1×2×2的长方体。然后在它的2×2的一面上，加上一个2×2×2的立方体，从而总共形成一个2×2×3的长方体。在这个长方体的2×3的一面上，加上一个2×2×3的长方体，得到一个2×3×4的长方体，如此类推。把这一过程继续进行下去，始终按照东→南→下→西→北→上的顺序加上新的长方体。在每一步上，新形成的长方体均以三个连续的Padovan数为其三条棱的长度。

此外，如果你把新加长方体的正方形面依次用直线连接起来，那么就得到一条螺旋线。甚至还可以证明这条螺旋线在一个平面上。正如闪闪发光的黄金数一样，平淡无奇的塑料数也产生了丰富多彩的螺旋设想。